%---------------------------------------
% Packages
%---------------------------------------
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{ngerman}                    % deutsche Sprache

\usepackage{makeidx}                    % Index erstellen
\usepackage{url}                        % urls einbinden
\usepackage{ifthen}                     % für bedingte Makros
\usepackage{graphicx}                   % einbinden von Bildchen
\usepackage{titlesec}                   % Überschriften anpassen

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{stmaryrd}                   % weitere mathematische Symbole
\usepackage[arrow, matrix, curve]{xy}   % kommutative Diagramme
\usepackage[amsmath,
            thmmarks,
            thref]
            {ntheorem}                  % mathematische Umgebungen

%---------------------------------------
% Einstellungen
%---------------------------------------

\setlength{\parindent}{0pt}
% \setlength{\parskip}{2ex}
\titlelabel{§\thetitle\quad}            % "§" vor die Section
\renewcommand{\labelenumi}{\theenumi}    
\renewcommand{\theenumi}{(\alph{enumi})}

%---------------------------------------
% Definitionen
%---------------------------------------


% Abkürzungen für den Text
\newcommand{\RAlgHom}{$R$-Algebra-Homomorphismus}
\newcommand{\RAlgHoms}{$R$-Algebra-Homomorphismen}
\newcommand{\RMod}{$R$-Modul}
\newcommand{\RMods}{$R$-Moduln}
\newcommand{\RModHom}{$R$-Modul-Homomorphismus}
\newcommand{\RModHoms}{$R$-Modul-Homomorphismen}

\newcommand{\chk}{\checkmark}           % Haken
\newcommand{\emp}[1]{\textbf{\emph{#1}}}

% Mathe-Umgebungen definieren
\theoremstyle{break}
    \newtheorem{Satz}{Satz}
    \newtheorem{SatzDef}[Satz]{Satz + Definition}
    \newtheorem{Def}{Definition}[chapter]
    \newtheorem{DefBem}[Def]{Definition + Bemerkung}
    \newtheorem{Bem}[Def]{Bemerkung}
    \newtheorem{BemDef}[Def]{Bemerkung + Definition}
    \newtheorem{Prop}[Def]{Proposition}
    \newtheorem{PropDef}[Def]{Proposition + Definition}
    \newtheorem{Folg}[Def]{Folgerung}
    \newtheorem{Bsp}[Def]{Beispiele}
    \newtheorem{DefProp}[Def]{Definition + Proposition}
    \newtheorem{anBew}[Def]{Beweis}
\theoremstyle{nonumberbreak}
    \newtheorem{Bew}{Beweis}
    \newtheorem{nnBem}{Bemerkung}
    \newtheorem{nnBsp}{Beispiele}
    \newtheorem{nnSatz}{Satz}
    \newtheorem{nnFolg}{Folgerung}
    \newtheorem{Beo}{Beobachtung}
    \newtheorem{Eri}{Erinnerung}
\theoremstyle{nonumberplain}
    \theoremsymbol{\ensuremath{\Box}}
    \newtheorem{proof}{Beweis}

% Allgemeines
\newcommand{\defeqr}[0]{\mathrel{\mathop:}=}
\newcommand{\defeql}[0]{=\mathrel{\mathop:}}
\newcommand{\ub}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}

% Verknüpfungen
\newcommand{\ten}[1][]{\otimes\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}}
\newcommand{\bigten}[0]{\bigotimes}


% Strukturen
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}

% Definitionen für Strukturen
\newcommand{\Char}[1]{\mathrm{char}(#1)}
\renewcommand{\dim}[2][]{\mathrm{dim}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}(#2)}
\newcommand{\hoe}[1]{\mathrm{h}(#1)}    % Höhe eines Primideals
\newcommand{\trdeg}[1]{\mathrm{trdeg}(#1)}
\newcommand{\Quot}[2][]{\mathrm{Quot}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}(#2)}
\newcommand{\Rad}[1]{\mathrm{Rad}(#1)}
\newcommand{\Spec}[1]{\mathrm{Spec}(#1)}

% Definitionen für Elemente der Strukturen
\newcommand{\ord}[2]{\mathrm{ord}_{#1}(#2)}      % Nullstellenordnung
\newcommand{\rg}[1]{\mathrm{rg}#1}
\newcommand{\Sp}[1]{\mathrm{Sp}#1}

% Mengen von Abbildungen
\newcommand{\Alt}[3]{\mathrm{Alt}_{#1}^{#2}(#3)}
\newcommand{\Aut}[2][]{\mathrm{Aut}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}(#2)}
\newcommand{\Der}[3][]{\mathrm{Der}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}(#2,#3)}
\newcommand{\Hom}[3][]{\mathrm{Hom}\ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{_{#1}}(#2,#3)}
\newcommand{\Sym}[3]{\mathrm{Sym}_{#1}^{#2}(#3)}

% Abbildungen
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}

% Definitionen für Abbildungen
\newcommand{\B}[1]{\mathrm{Bild}(#1)}
\newcommand{\K}[1]{\mathrm{Kern}(#1)}

% Kategorien
\newcommand{\Kat}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\KatRing}{\Kat{\text{Ringe}}}
\newcommand{\KatRAlg}[1][R]{\Kat{{#1}\text{-Alg}}}
\newcommand{\KatRMod}[1][R]{\Kat{{#1}\text{-Mod}}}
\newcommand{\KatTop}{\Kat{\text{top. Räume}}}
